MEDIUM-2：计算机中的整数与浮点数

多年以后，面对食堂里的奶茶机，你是否会回想起那个有一位一看就不怎么靠谱的学长邀请你加入“格里姆”物联网校园创业团队的下午…这事还要追溯到刚开学那会儿，那时候，你对咱们的学校还不太了解，是你在网络上结识的一位学长倪寇给了你一些小小的帮助。他也许是个好人，也许是个魔人，总之他只要你帮他一个小小的忙，不需要你请他吃饭。于是，在一个平静的下午，学长邀请你加入了一个神秘组织——“格里姆”物联网校园创业团队，并随手给你发来一个文档：

【项目交接文档 - 星期四 下午 4:44】 欢迎加入“格里姆”物联网校园创业团队！ 我们的主打产品——“哈吉蜜-26710型 智能全自动奶茶机”即将交付给学校食堂。

但是，上一个负责写底层固件的学长倪寇似乎在写程序的时候软脚了。现在这台机器就似乎出了那么一点点，就一点点的问题，比如说：加冰块的时候它会触发火灾警报，加珍珠的时候杯子里会出现“反物质珍珠”，而且老板用它来算账的时候发现每天都在亏钱！

作为倪寇学长为格里姆骗来…额，招纳来的全新牛马，你临危受命。你必须在天亮前，用你对整数补码和 IEEE 754 浮点数的深刻理解，修复这台机器的底层 C 语言驱动。

别抱怨了，打工人。食堂大妈明天早上六点就要用它了！

奶茶机主控板为了省钱，用的是上个世纪的 8 位便宜单片机，所有传感器数据都塞在 8 位的寄存器里。扫了一眼程序，聪明的你立马发现，学长在处理这些数据时，好像根本没搞清“无符号”和“有符号”的区别。

【任务 1.1：到底有多甜？】

你在调试台读取到“糖分控制寄存器”的原始二进制位模式为：1001 1100。

1. 如果该寄存器按无符号整数解析，这杯奶茶的甜度值是多少？
2. 如果老板要求该寄存器按有符号补码整数解析（负数表示少糖），此时的甜度值是多少？
3. 那么问题来了：为什么现在的计算机底层清一色都采用“补码”来存储有符号数，而不是直观的“原码”或“反码”？

【任务 1.2：冰块引发的火灾警报】

你在制冷模块的源码里发现了这样一段好像不太对劲的 C 语言逻辑：

#include <stdio.h>

void check_temperature() {
    int current_temp = -10;              // 当前冰水温度（摄氏度）
    unsigned int warning_temp = 50;      // 过热警告阈值

    // 学长：只要当前温度小于 50 度，就是安全的！
    if (current_temp < warning_temp) {
        printf("[正常] 奶茶清凉解暑。\n");
    } else {
        printf("[警告!] 温度过高！触发消防喷淋系统！\n");
    }
}

请问：食堂大妈想要一杯 -10 度的冰水，运行这段代码后，控制台会输出哪一行字？请结合 《深入理解计算机系统》一书中关于“有符号数与无符号数进行比较时的隐式类型转换规则”，向老板解释为什么制冷机会有这样的反应。

请在markdown中回答上述中出现的问题。

由于老板是珍珠的狂热爱好者，每次喝奶茶都要加上好几百颗珍珠当作主食来享用，机器里的 8 位有符号补码计数器（范围：$[-128, 127]$）在疯狂加料。结果因为超出了表示范围，杯子里的珍珠数量变成了负数，系统判定老板欠了机器几百颗珍珠。

【任务 2.1：算术溢出的惨剧】

假设当前杯子里已经有 88 颗珍珠（二进制 01011000），机器又咣当一声丢进去了 65 颗珍珠（二进制 01000001）。

1. 这两个 8 位补码相加后，寄存器中实际保存的二进制位模式是多少？
2. 转换为十进制后，系统认为杯子里现在有多少颗珍珠？这是正溢出还是负溢出？
3. 为了防止加法溢出导致奶茶机死机，请用 C 语言补全以下检测函数。

要求:判断两个 32 位有符号 int 相加是否安全。

 // 若相加不发生溢出返回 1，发生溢出返回 0
int is_safe(int x, int y) {

    int sum = x + y;
    int x_sign = (x >> 31) & 1;
    int y_sign = (y >> 31) & 1;
    int sum_sign = (sum >> 31) & 1;
    int rusult;

    // 请补全代码写在TO DO与END OD TO DO之间：
    //TO DO


    //END OF TO DO

    return  result;
}

【任务 2.2：没有乘法器的悲哀】

哈？！这块廉价单片机的 CPU 竟然没有硬件乘法器！执行一次 * 号需要调用库函数，耗时几百个时钟周期，导致奶茶机出料极慢。老板要求你优化代码：需要将基础奶量 $x$ 乘以 29 得到最终奶量（$y = x \times 29$）。请你仅使用左移位（<<）、加法（+）或减法（-），用最少的运算符写出等效的函数。

int final_milk(int x) {

    int y;

    // 请补全代码写在TO DO与END OD TO DO之间：
    //TO DO


    //END OF TO DO

    return y;
}

请在markdown中回答上述出现的问题，并将正确代码也一并提交至markdown文档中。

为了调配出“极致丝滑”的奶茶，流控阀门需要用到小数。

学长贴心提示：根据 IEEE 754 浮点数标准，一个浮点数由三部分构成： 符号位（sign）：1 位，决定正负。 阶码（exponent）：表示数量级，类似科学计数法中的指数部分。 尾数（significand）：表示有效数字部分。

【任务 3.1：对学长提示的深入理解】

1. 请查阅相关资料并回答：在 IEEE 754 标准中，float 与 double 分别使用多少位来表示这三部分？

2. 在存储阶码时，IEEE 754 并不直接保存正负值，而是把它加上一个偏置 ——Bias后存为无符号整数。请回答：偏置值是如何计算的？这样做的意义是什么？

3. 当浮点数表示的数值非常接近 0 时，规格化表示的阶码已经到最小了，这时候就会用到非规格化数。那么请查阅相关资料并回答： 非规格化数的特点是什么？

4. 此外，还有两个特殊阶码模式：

   1. 阶码全为 1 且尾数全为 0
   2. 阶码全为 1 且尾数非 0

   那么这两个特殊阶码模式分别指的什么？

请在markdown中回答上述出现的问题，并将正确代码也一并提交至markdown文档中。

特别注意：这部分内容仅为引入浮点数基本内容，强烈建议阅读《深入理解计算机系统》以更深入地了解浮点数

【任务 3.2：补全浮点数对照表】

由于单片机内存少得可怜，学长自己捏造了一个“8 位迷你浮点数”，完全照搬 IEEE 754 标准，具体格式如下：

符号位 $S$：1 位（第 7 位，0 为正，1 为负）

阶码位 $E$：4 位（第 6~3 位，偏置量 $Bias = 2^{4-1} - 1 = 7$）

尾数位 $M$：3 位（第 2~0 位）

你在一张沾满奶茶渍的草稿纸上发现了一半的解析表，请你利用 IEEE 754 知识把它补全：

【任务 3.3：阀门的极限】

1. 该 8 位浮点数能表示的最小的正非规格化数的二进制位模式是什么？对应的十进制数值是多少？最大的呢？
2. 阀门全开时，该 8 位浮点数能表示的最大的正规格化数的二进制位模式是什么？对应的十进制数值是多少？最小的呢？
3. 比较最大正非规格化数和最小正规格化数，思考对于非规格化形式，阶码值为什么是$1 - Bias$而不是简单的$-Bias$？

请在markdown中回答上述出现的问题。

最让老板抓狂的不是机器喷水，而是算错账。

【任务 4.1：设计加法程序】

请先阅读以下内容：

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

1.对阶

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。类比平常我们用到的带阶数的加减法，对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。在对阶的过程中有两种方式，大阶向小阶看齐，小阶向大阶看齐。但实际上我们是用小阶向大阶看齐的方式。请思考其中的原因。

2.尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。

3.规格化

对于IEEE754标准的浮点数来说，由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。规格化操作包括左规和右规两种情况。

左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。例如，浮点数0.001111是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.110000规格化形式了。

右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.001100右规一位后便成为1.0001100的规格化形式了。

4.舍入处理

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法，这里请自行查阅不详细列出。

5.溢出判断

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

下面给出具体运算过程示例（以32位系统为例）：

float a = 0.3; b = 1.6;

a = 0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010 Sa=0 Ea=011 1110 1 Ma=1.001 1001 1001 1001 1001 1010

b = 0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101 Sb=0 Eb=011 1111 1 Mb=1.100 1100 1100 1100 1100 1101

a + b= ?

第一步：对阶

∵ Ea < Eb Eb - Ea = 2

∴ Ma要调整为 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10

E = 011 1111 1

第二步：尾数运算

0.01001100110011001100110

+1.10011001100110011001101

1.11100110011001100110011

第三步：规格化

1.11100110011001100110011已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按”0舍1入”，尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

a+b = 0 01111111 11100110011001100110100 = 0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100

转为10进制

a+b = 1.90000010

要求：按照学长设计的八位迷你浮点系统，请设计一个c程序，要求为输入两个八位二进制浮点数（中间用空格隔开），然后对两个浮点数进行加法操作，只完成对阶，尾数运算和规格化的操作，输出规格化后的二进制表达式（不考虑溢出，若需进行舍入采取向零舍入）。为简化实现，本题只考虑非负的规格化数，忽略非规格化数和其它特殊情况。

输入输出示例

【任务 4.2：老板为什么每天都在亏钱？】

为了省事，老板坚持在算账程序里用标准的 32 位 float 类型来计算营业额。

有一天，老板查账时看到这段测试代码，直接破防了：

float boss_wallet = 1e20f;  // 老板吹牛的初始资产（极大值）
float daily_expense = -1e20f; // 房租水电原料等支出（极小值）
float milk_tea_price = 15.0f; // 卖出一杯奶茶赚 15 块钱

// 算法 1：先算初始资产和支出的净值，再加奶茶钱
float revenue1 = (boss_wallet + daily_expense) + milk_tea_price; // 结果为 15.0

// 算法 2：初始资产加上（支出和奶茶钱的汇总）
float revenue2 = boss_wallet + (daily_expense + milk_tea_price); // 结果为 0.0 !!!

请你从 IEEE 754 浮点数的对阶机制、精度丢失与大数吸收的角度向老板解释：为什么同样的三个数，只是加的顺序变了，那 15 块钱就凭空消失了？（即为什么浮点数加法不满足数学上的结合律）。

请在markdown中回答上述出现的问题，并将正确代码也一并提交至markdown文档中。

【星期五 上午 5：55】 你敲下最后一个回车，编译器显示 0 errors, 0 warnings。

随着“叮”的一声脆响，奶茶机吐出了一杯温度完美、甜度适中、珍珠分量刚好的哈吉蜜奶茶。

食堂大妈推着车走了进来，你疲惫地合上笔记本，端起那杯奶茶喝了一口。

很好，没有火灾，没有反物质珍珠，老板的账本也换回了 int 型来记账。

真累啊…早知道就不该答应学长帮这所谓“一个小小的忙”，请学长吃个饭多轻松啊…

就这么想着，你忽然意识到有什么不对劲的地方。

不对啊，我什么时候答应了要请他吃饭？

为什么他就以“你不用请我吃饭了帮我个忙就好”这个理由把我搞来做这么麻烦的事情啊喂！！！

你无力地摊在椅子上，拿起哈吉蜜奶茶嗦了一口，味道还不错。

难言的喜悦从你心中涌起，虽然好像被可恶的倪寇学长坑了，但你今天又用计算机系统的知识，阻止了一场可怕的校园灾难。

你又拿起奶茶，猛嗦了一大口，回过神来，已是豪饮。

Debug 仙人，干杯

你如是想到…

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出题人：  Niko✔

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